Curso de Análisis, a - Vol. II: Diferenciación e Integración de Funciones de Varias Variables, Cálculo Vectorial

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Título original:

Course in Analysis, a - Vol. II: Differentiation and Integration of Functions of Several Variables, Vector Calculus

Contenido del libro:

Los autores dan muchos ejemplos, ilustraciones y ejercicios para ayudar a los estudiantes a digerir la teoría y emplean una notación clara y ordenada en todo el libro. Aprecio mucho su selección de ejercicios, ya que muchos de los problemas desarrollan técnicas sencillas que se utilizarán más adelante en el libro o establecen conexiones del análisis con otras partes de las matemáticas.

También hay soluciones a todos los ejercicios al final del libro. Al igual que en el primer volumen, el volumen II contiene verdaderas joyas. A Course in Analysis parece estar lleno de estas pequeñas joyas en las que los autores utilizan el material o piden a los lectores que lo utilicen para obtener resultados o ejemplos que el lector seguramente volverá a ver en otro contexto más adelante en sus estudios de matemáticas.

En general, la calidad de la exposición en los dos primeros volúmenes es muy alta.

Recomiendo estos libros' (Ver Reseña Completa)MAA ReviewsEste es el segundo volumen de 'A Course in Analysis' y está dedicado al estudio de los mapeos entre subconjuntos de espacios euclidianos. Se discute la métrica, y por tanto la estructura topológica, así como la continuidad de los mapas.

A continuación se introducen las derivadas parciales de funciones de valor real y el diferencial de los mapas. Muchos capítulos tratan de aplicaciones, en particular a la geometría (curvas y superficies paramétricas, convexidad), pero también se consideran temas como los valores extremos y los multiplicadores de Lagrange, o las coordenadas curvilíneas. En la parte más abstracta se demuestran en detalle resultados como el teorema de Stone-Weierstrass o el teorema de Arzela-Ascoli.

La primera parte termina con un tratamiento riguroso de las integrales de línea. En la segunda parte se tratan las integrales iteradas y de volumen para funciones de valor real. Aquí se desarrolla la teoría de Riemann (-Darboux-Jordan).

Se dedica un capítulo entero a los límites y a la mensurabilidad de Jordan de los dominios. También tratamos en detalle las integrales impropias y damos algunas de sus aplicaciones.

La parte final de este volumen aborda una primera discusión del cálculo vectorial. Aquí presentamos una versión práctica para matemáticos de los teoremas de Green, Gauss y Stokes. Una vez más, se hace hincapié en las aplicaciones, por ejemplo, al estudio de las ecuaciones diferenciales parciales.

Al mismo tiempo, preparamos al estudiante para que comprenda por qué estos teoremas y objetos relacionados, como las integrales de superficie, exigen una teoría mucho más avanzada que desarrollaremos en volúmenes posteriores.

Este volumen ofrece más de 260 problemas resueltos con todo detalle que deberían ser de gran utilidad para todo estudiante serio.