Conferencias sobre N_X(p)

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Título original:

Lectures on N_X(p)

Contenido del libro:

Lectures on N X (p) aborda la cuestión de cómo N X (p), el número de soluciones de congruencias mod p, varía con p cuando la familia (X) de ecuaciones polinómicas es fija. Aunque una pregunta tan general no puede tener una respuesta completa, ofrece una buena ocasión para revisar diversas técnicas en cohomología l-ádica y representaciones de grupos, presentadas en un contexto atractivo para especialistas en teoría de números y geometría algebraica.

Además de cubrir problemas abiertos, el texto examina las propiedades de tamaño y congruencia de N X (p) y describe las formas en que se calcula, mediante fórmulas cerradas y/o utilizando ordenadores eficientes.

Los cuatro primeros capítulos abarcan los preliminares y apenas contienen pruebas. Tras un repaso de los principales teoremas sobre N X (p), el libro ofrece ejemplos sencillos e ilustrativos y analiza el teorema de la densidad de Chebotarev, esencial para estudiar las funciones frobenianas y los conjuntos frobenianos. También revisa la cohomología ℓ-ádica.

A continuación, el autor presenta resultados sobre representaciones de grupos que suelen ser difíciles de encontrar en la literatura, como la técnica de calcular medidas de Haar en un grupo ℓ-ádico compacto realizando un cálculo similar en un grupo de Lie compacto real. Estos resultados se utilizan después para discutir las posibles relaciones entre dos familias diferentes de ecuaciones X e Y. El autor describe también las propiedades arquimedianas de N X (p), un tema sobre el que se sabe mucho menos que en el caso ℓ-ádico. Tras un capítulo sobre la conjetura de Sato-Tate y sus aspectos concretos, el libro concluye con una exposición del teorema de los números primos y del teorema de la densidad de Chebotarev en dimensiones superiores.