Problemas sin resolver de la teoría de la codificación

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Título original:

Selected Unsolved Problems in Coding Theory

Contenido del libro:

Con un original modo de presentación y haciendo hincapié en la naturaleza computacional del tema, este libro explora una serie de problemas sin resolver que aún existen en la teoría de la codificación. La teoría de los códigos de corrección de errores, una rama de las matemáticas consolidada pero de gran relevancia, se ocupa de la transmisión fiable de datos a través de un canal "ruidoso". A pesar de su uso frecuente en diversos contextos -las primeras imágenes de primer plano de la superficie de Marte, tomadas por la nave espacial Mariner 9 de la NASA, se transmitieron a la Tierra utilizando un código Reed-Muller-, el tema sigue conteniendo interesantes problemas sin resolver que se han resistido a ser resueltos por algunos de los matemáticos más destacados de las últimas décadas.

Para ilustrar sus ideas, los autores emplean Sage, un sistema de software matemático gratuito y de código abierto, y comienzan proporcionando información general sobre los códigos lineales de bloques e introduciendo algunas de las familias especiales de códigos que se exploran en capítulos posteriores, como los códigos de residuos cuadráticos y los códigos algebraico-geométricos. También se estudia la teoría que cruza los códigos autoduales, los entramados y la teoría de invariantes, que conduce a una intrigante analogía entre la función zeta de Duursma y la función zeta adjunta a una curva algebraica sobre un campo finito. A continuación, los autores examinan una conexión con la teoría de los diseños de bloques y el teorema de Assmus-Mattson. Otros capítulos analizan el complicado problema de encontrar una estimación no trivial del número de soluciones sobre un campo finito de una ecuación polinómica hiperelíptica de grado "pequeño", así como los mejores límites asintóticos para un código lineal binario de bloques. También se discuten algunos de los aspectos más misteriosos relacionados con las formas modulares y los códigos algebraico-geométricos.

Selected Unsolved Problems in Coding Theory está dirigido a estudiantes de posgrado e investigadores en teoría algebraica de la codificación, especialmente a aquellos que estén interesados en encontrar algunos problemas actuales sin resolver. Se presupone familiaridad con conceptos de álgebra, teoría de números y formas modulares. La obra puede utilizarse como material de lectura complementario en un curso de postgrado sobre teoría de la codificación o para el autoaprendizaje.