Geometría diferencial: Conexiones, curvatura y clases características

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Título original:

Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes

Contenido del libro:

Este texto presenta una introducción a nivel de postgrado a la geometría diferencial para estudiantes de matemáticas y física. La exposición sigue el desarrollo histórico de los conceptos de conexión y curvatura con el objetivo de explicar la teoría de Chern-Weil de clases características sobre un haz principal. A lo largo del camino nos encontramos con algunos de los puntos culminantes de la historia de la geometría diferencial, por ejemplo, el Teorema Egregio de Gauss y el teorema de Gauss-Bonnet. Los ejercicios a lo largo del libro ponen a prueba la comprensión del material por parte del lector y, en ocasiones, ilustran extensiones de la teoría. Inicialmente, los prerrequisitos para el lector incluyen una familiaridad pasajera con los múltiples. Después del primer capítulo, se hace necesario comprender y manipular formas diferenciales. Para el último tercio del texto se requiere un conocimiento de la cohomología de De Rham.

El material previo está contenido en el texto del autor An Introduction to Manifolds, y puede aprenderse en un semestre. Para beneficio del lector y para establecer notaciones comunes, el Apéndice A recuerda los fundamentos de la teoría de los múltiples. Además, en un intento de hacer la exposición más autocontenida, se incluyen secciones sobre construcciones algebraicas como el producto tensorial y la potencia exterior.

La geometría diferencial, como su nombre indica, es el estudio de la geometría mediante el cálculo diferencial. Su origen se remonta a Newton y Leibniz en el siglo XVII, pero no fue hasta el siglo XIX, con los trabajos de Gauss sobre las superficies y Riemann sobre el tensor de curvatura, cuando la geometría diferencial floreció y se sentaron sus bases modernas. En los últimos cien años, la geometría diferencial ha demostrado ser indispensable para comprender el mundo físico, en la teoría general de la relatividad de Einstein, en la teoría de la gravitación, en la teoría gauge y, ahora, en la teoría de cuerdas. La geometría diferencial también es útil en topología, varias variables complejas, geometría algebraica, variedades complejas y sistemas dinámicos, entre otros campos. El campo ha encontrado incluso aplicaciones a la teoría de grupos, como en el trabajo de Gromov, y a la teoría de probabilidades, como en el trabajo de Diaconis. No es descabellado afirmar que la geometría diferencial debería estar en el arsenal de todo matemático.