Fundamentos del análisis moderno

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Título original:

Foundations Of Modern Analysis

Contenido del libro:

FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS MODERNO. Impresión ampliada y corregida J. DIEUDONNE Este libro es el primer volumen de un tratado que con el tiempo constará de cuatro volúmenes. Es también una impresión ampliada y corregida, esencialmente sin cambios, de mis Fundamentos del análisis moderno. Muchos lectores, colegas y amigos me han instado a escribir una continuación de ese libro, y al final me convencí de que había un lugar para un estudio del análisis moderno, en algún lugar entre el conjunto de herramientas mínimas de carácter elemental que tenía la intención de escribir, y las monografías especializadas que conducen a las fronteras de la investigación. Mi experiencia en la enseñanza también me ha convencido de que el aprendiz de matemático, después de dar el primer paso en Fundamentos, necesita más orientación y una especie de visión general de su tema antes de lanzarse al océano de la literatura matemática o de emprender el estrecho camino de su propio tema de investigación. Así pues, finalmente me he visto obligado a intentar escribir un equivalente, para los matemáticos de 1970, de lo que los Cours dAnalyse de Jordan, Picard y Goursat fueron para los estudiantes de matemáticas entre 1880 y 1920. Es manifiestamente imposible intentar una cobertura enciclopédica, y ciertamente superfluo reescribir las obras de N. Bourbaki. Por tanto, me he visto obligado a recortar sin piedad para mantenerme dentro de unos límites comparables a los de los tratados clásicos.

He optado por la amplitud en lugar de la profundidad, en la opinión de que es mejor mostrar al lector los rudimentos de muchas ramas del análisis moderno en lugar de proporcionarle una exposición completa y detallada de un pequeño número de temas. La experiencia parece demostrar que el estudiante suele encontrar difícil comprender una nueva teoría en una primera lectura. Necesita volver a ella varias veces antes de familiarizarse realmente con ella y poder distinguir por sí mismo cuáles son las ideas esenciales y qué resultados son de menor importancia, y sólo entonces será capaz de aplicarla inteligentemente. Los capítulos de este tratado son, por tanto, muestras más que teorías completas: de hecho, he intentado sistemáticamente no ser exhaustivo. Las obras citadas en la bibliografía permitirán siempre al lector profundizar en una teoría determinada. Sin embargo, me he negado a distorsionar las ideas principales del análisis presentándolas de forma demasiado especializada, y oscureciendo así su poder y su generalidad. Da una falsa impresión, por ejemplo, si la geometría diferencial se restringe a dos o tres dimensiones, o si la integración se restringe a la medida de Lebesgue, con el pretexto de hacer estos temas más accesibles o intuitivos. Por otra parte, no creo que el contenido esencial de las ideas implicadas se pierda, en un primer estudio, al restringir la atención a los espacios topológicos metrizables separables.

Los matemáticos de mi generación tenían razón al desterrar las hipótesis de contabilidad allí donde no eran necesarias: era la única manera de comprenderlas con claridad.