Tratado de geometría diferencial de curvas y superficies

Título original:

A Treatise On The Differential Geometry Of Curves And Surfaces

Contenido del libro:

TRATADO DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES. PREFACIO: Este libro es el resultado de los cursos que he impartido en Princeton durante varios años. Durante este tiempo he llegado a pensar que mis estudiantes obtendrían mejores resultados si dispusieran de un tratado introductorio escrito en inglés y adaptado al uso de los hombres que comienzan sus estudios de postgrado. El capítulo I está dedicado a la teoría de las curvas retorcidas, y el método general es el que se sigue habitualmente en las discusiones sobre este tema. Pero, además, he introducido la idea de los ejes móviles y he deducido las fórmulas correspondientes a partir de las fórmulas de Freiiet-Serret obtenidas anteriormente. De este modo, el estudiante se familiariza con un método similar al utilizado por Darboux en el primer volumen de sus Lepons, y al de Cesaro en su Gcomctria Ittiriiiseca. Este método no sólo es muy ventajoso en el tratamiento de ciertos temas y en la solución de problemas, sino que también es muy valioso para desarrollar el pensamiento geométrico. El resto del libro puede dividirse en tres partes. La primera, que consta de los capítulos II-VI, trata de la geometría de una superficie en la vecindad de un punto y de sus desarrollos, tales como curvas y sistemas de curvas definidos por ecuaciones diferenciales.

En gran medida, el método es el de Gauss, por el cual las propiedades de una superficie se derivan de la discusión de dos formas diferenciales qxiad ratie. Sin embargo, se dedica poco o ningún espacio al tratamiento algebraico de las formas diferenciales y sus invariantes. Además, el método de ejes móviles, tal como se define en el primer capítulo, se ha ampliado para que pueda aplicarse a la investigación de las propiedades de superficies y grupos de superficies. La extensión de la teoría relativa a los puntos ordinarios es tan grande que no se ha intentado considerar los problemas excepcionales. En los capítulos VII y VIII se aplica la teoría anteriormente desarrollada a varios grupos de superficies, tales como las cuádricas, las superficies regladas, las superficies mínimas, las superficies de curvatura total constante y las superficies con líneas de curvatura planas y esféricas. La idea de aplicabilidad de las superficies se introduce en el capítulo IIT como un caso particular de representación conforme, y a lo largo del libro se llama la atención sobre ejemplos de superficies aplicables. Sin embargo, los problemas generales relacionados con la aplicabilidad de las superficies se tratan en los capítulos IX y X, este último dedicado por completo al reciente método de Weingarten y sus desarrollos.

Los cuatro capítulos restantes están dedicados a la discusión de la deformación infinitesimal de superficies, congruencias de rectas y círculos, y sistemas de superficies triplemente ortogonales. Se observará que el libro contiene muchos ejemplos, y el estudiante encontrará que mientras que algunos de ellos son simplemente aplicaciones directas de las fórmulas, otros constituyen extensiones de la teoría que podrían incluirse como partes de un tratado más extenso. Al principio me sentí obligado a dar referencias que permitieran al lector consultar las revistas y tratados de los que se han extraído algunos de estos problemas, pero finalmente me pareció mejor no dar ninguna clave de este tipo, y sólo señalar que la flncyklopadie der mathematisc7ien Wissensckaften puede ser de ayuda. Y lo mismo puede decirse de las referencias a las fuentes del tema del libro. Se han hecho muchas citas importantes, pero no se ha intentado dar todas las referencias. Sin embargo, deseo reconocer mi deuda con los tratados de Uarboux, Biancln y Scheffers...