Introducción a la geometría diferencial - Con el uso del cálculo tensorial

Título original:

An Introduction to Differential Geometry - With the Use of Tensor Calculus

Contenido del libro:

UNA INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL CON USO DEL CÁLCULO TENSOR Por LUTHER PFAHLER EISENHART. Prefacio: Desde 1909, cuando se publicó mi Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, el cálculo tensorial, que había sido inventado previamente por Ricci, fue adoptado por Einstein en su Teoría General de la Relatividad, y se ha desarrollado aún más en el estudio de la Geometría Riemanniana y varias generalizaciones de esta última. En el presente libro se desarrolla el cálculo tensorial del espacio cuclídeo de 3 dimensiones y se generaliza para aplicarlo a un espacio riemanniano de cualquier número de dimensiones. El cálculo tensorial aquí desarrollado se aplica en los capítulos III y IV al estudio de la geometría diferencial de superficies en el espacio 3, siendo el material tratado equivalente al que aparece en general en los ocho primeros capítulos de mi anterior libro, con las adiciones que se derivan de la introducción del concepto de paralelismo de Levi-Civita y del contenido del cálculo tensorial. LUTHER PFAHLER EISENHART. El contenido incluye: CAPÍTULO I CURVAS EN EL ESPACIO SECCIÓN PÁGINA 1. Curvas y superficies. La convención de la suma 1 2. Longitud de una curva. Elemento lineal, 8 3. Tangente a una curva. 10 3. Orden de contacto. 11 4. Curvatura. Normal principal. Círculo de curvatura 16 5. Normal TBi. Torsión 19 6r Las fórmulas de Frenet. La forma de una curva en la vecindad de un punto 25 7. Ecuaciones intrínsecas de una curva 31 8. Involutas y evolutas de una curva. Involutas y evolutas de una curva 34 9.

La superficie tangente de una curva. La superficie polar. Esfera oscilante.. 38 10. Ecuaciones paramétricas de una superficie. Coordenadas y curvas de coordenadas trT una superficie 44 11. El plano tangente a una superficie. 1 Plano tangente a una superficie 50 tSffSuperficies envolventes. Envolvente de una familia de superficies de un parámetro.. 53 CAPÍTULO II TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. CÁLCULO TENSORIAL 13. Transformación de coordenadas. Coordenadas curvilíneas 63 14. 70 15. Vectores contravariantes. Vectores contravariantes. Escalares 74 16. Longitud de un vector contravariante. Ángulo entre dos vectores 80 17. 80 17. Vectores covariantes. Componentes contravariante y covariante de un vector 83 18. Tensores. Tensores. Tensores simétricos y de simetría oblicua 89 19. Tensores. 90 20. Suma, resta y multiplicación de tensores. Contracción.... 94 20. 95 20. Los símbolos de Christoffel. El tensor de Riemann 98 21. 103 22. Diferenciación covariante. 107 23. Sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden. 107 23. Sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden. Sistemas mixtos 114 CAPÍTULO III GEOMETRÍA INTRÍNSECA DE UNA SUPERFICIE 24. Elemento lineal de una superficie. 24. Elemento lineal de una superficie. 24.1. Primera forma cuadrática fundamental de una superficie. Vectores en una superficie 123 25. 123 25. Ángulo de dos curvas que se cruzan en una superficie. Elemento de superficie 129 26. Familias de curvas en una superficie. Direcciones principales 138 27. Geometría intrínseca de una superficie. Superficies isométricas 146 28. Los símbolos de Christoffel para una superficie. El tensor de curvatura de Riemann. La curvatura gaussiana de una superficie 149 29. La curvatura gaussiana de una superficie

Parámetros diferenciales 155 30. Redes ortogonales isométricas. Coordenadas isométricas 161 31...