Ecuaciones diferenciales parciales

Título original:

Partial Differential Equations

Contenido del libro:

Se trata de una versión revisada y ampliada de mi introducción elemental a las ecuaciones diferenciales parciales de 1995. El material es esencialmente el mismo excepto por tres nuevos capítulos.

El primero (capítulo 8) trata de las ecuaciones no lineales de primer orden y, en particular, de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Se basa en la idea constante de que las EDP, aunque son una rama del análisis matemático, están estrechamente relacionadas con modelos de fenómenos físicos. Dicha física subyacente proporciona a su vez ideas de resolubilidad.

La aproximación variacional de Hopf al problema de Cauchy para las ecuaciones de Hamilton-Jacobi es uno de los ejemplos más claros e incisivos de dicha interacción.

El método es una mezcla perfecta de mecánica clásica, a través del papel y las propiedades del lagrangiano y el hamiltoniano, y cálculo de variaciones. Una cuestión delicada es la de la identificación de las "clases de unicidad".

"Se ha hecho un esfuerzo por extraer las condiciones geométricas en el gráfico de las soluciones, como la cuasiconcavidad, para que se mantenga la unicidad. El capítulo 9 es una introducción a las formulaciones débiles, los espacios de Sobolev y los métodos variacionales directos para ecuaciones lineales y cuasilineales. Aunque conciso, el material sobre los espacios de Sobolev es razonablemente completo, al menos para un usuario de EDP.

Incluye todos los teoremas básicos de la ecuación, incluidas sus pruebas, y la teoría de las trazas. Las formulaciones débiles de los problemas de Dirichlet y Neumann se basan en este material. Los métodos variacionales y de Galerkin relacionados, así como los problemas de valores propios, se presentan dentro de su marco débil.