Curvas elípticas (Segunda edición)

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Título original:

Elliptic Curves (Second Edition)

Contenido del libro:

Este libro utiliza la bella teoría de las curvas elípticas para introducir al lector en algunos de los aspectos más profundos de la teoría de números. Sólo asume un conocimiento del álgebra básica, el análisis complejo y la topología que suelen enseñarse en los cursos de postgrado de primer año.

Una curva elíptica es una curva plana definida por un polinomio cúbico. Aunque el problema de encontrar los puntos racionales de una curva elíptica ha fascinado a los matemáticos desde la antigüedad, no fue hasta 1922 cuando Mordell demostró que los puntos forman un grupo finitamente generado. Aún no existe un algoritmo probado para hallar el rango del grupo, pero en una de las primeras aplicaciones importantes de los ordenadores a las matemáticas, Birch y Swinnerton-Dyer descubrieron una relación entre el rango y el número de puntos de la curva calculados módulo a primo.

El capítulo IV del libro demuestra el teorema de Mordell y explica la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Toda curva elíptica sobre los números racionales tiene una serie L asociada.

Hasse conjeturó que esta serie L satisface una ecuación funcional, y en 1955 Taniyama sugirió que la conjetura de Hasse podría demostrarse demostrando que la serie L surge de una forma modular. En la década de 1990, Wiles (y otros) demostraron que esto era cierto y, como consecuencia, se obtuvo una demostración del último teorema de Fermat. El capítulo V del libro está dedicado a explicar este trabajo.

Los tres primeros capítulos desarrollan la teoría básica de las curvas elípticas. Para esta edición, el texto ha sido completamente revisado y actualizado.