Camino Real a la Topología, A: Convergencia de Filtros

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Título original:

Royal Road to Topology, A: Convergence of Filters

Contenido del libro:

Los espacios topológicos son un caso especial de los espacios de convergencia.

Este libro de texto introduce la topología en el contexto más amplio de la teoría de la convergencia. El título alude a las ventajas del presente enfoque, más gratificante que muchos de los tradicionales: se viaja más cómodamente por los paisajes matemáticos y se ve más.

El libro se dirige tanto a quienes deseen aprender topología como a quienes, siendo ya conocedores de la misma, sientan curiosidad por revisarla desde una perspectiva diferente, que va mucho más allá de los conocimientos tradicionales. Los temas habituales de los cursos clásicos de topología teórica de conjuntos se tratan al principio del libro, desde el punto de vista de la convergencia de los filtros, pero de forma bastante elemental. Más adelante, la mayoría de estos hechos reaparecen como simples consecuencias de aspectos más avanzados de la teoría de la convergencia.

Las virtudes mencionadas del enfoque se derivan del hecho de que la clase de las convergencias es cerrada bajo varias operaciones naturales y esenciales, ¡bajo las cuales la clase de las topologías no lo es! Por consiguiente, la teoría de la convergencia complementa a la topología como el campo de los números complejos completa algebraicamente el campo de los números reales. La teoría de la convergencia es intuitiva y operativa gracias a su adecuado nivel de abstracción, lo suficientemente general para comprender las leyes subyacentes, pero no demasiado para no perder su atractivo intuitivo.