Antecedentes formales de las matemáticas: Lógica, Conjuntos y Números

Título original:

A Formal Background to Mathematics: Logic, Sets and Numbers

Contenido del libro:

1 Ante las cuestiones mencionadas en el Prefacio, me he visto impulsado a escribir este libro partiendo de la base de que el lector típico tendrá ciertas características. Es de suponer que estará familiarizado con las descripciones convencionales de ciertas partes de las matemáticas y con muchos de los llamados enunciados matemáticos, algunos de los cuales (los teoremas) sabrá (ya sea porque ha estudiado y digerido una demostración o porque acepta la autoridad de otros) que son verdaderos, y otros de los cuales sabrá (por la misma razón) que son falsos.

No obstante, será consciente de la falta de claridad en su propia mente sobre los conceptos de prueba y verdad en matemáticas, y se sentirá perturbado por ello, aunque es casi seguro que sentirá que en matemáticas estos conceptos tienen significados especiales muy similares en sus características externas, aunque diferentes, a los de la vida cotidiana. Y también que se basan en criterios diferentes de los experimentales utilizados en la ciencia.

Conocerá enunciados de los que todavía no se sabe si son verdaderos o falsos (problemas sin resolver). Es muy posible que le sorprenda y consterne la posibilidad de que existan enunciados "definitivos" (en el sentido de que no implican variables libres) que, sin embargo, no puedan demostrarse ni refutarse (refutarse) (basándose estrictamente en un conjunto de axiomas y un concepto de prueba acordados).