Tratado elemental de ecuaciones diferenciales

Título original:

An Elementary Treatise on Differential Equations

Contenido del libro:

AN ELEMENTARY TREATISE ON DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS by H. T. H. PIAGGIO, M. A., D. Sc. PROFESSOR OF MATHEMATICS, UNIVERSITY COLLEGE, NOTTINGHAM SENIOR SCHOLAR OF ST. JOHNS COLLEGE, CAMBRIDGE LONDRES G. BELL AND SONS, LTD, 1949 Publicado por primera vez en mayo de 1920. Reimpreso 1921, 1924, 1925, 1926 Edición revisada y aumentada 1922 Reimpreso 1929, 1931, 1933, 1937, 1959, 1940, 1911, 1942, 1943, 1944, 1945, 1946, 1949. IMPRESO EN GRAN BRETAÑA POR ROBERT MACLKHOSE AND CO. LTD. THE UNIVERSITY PRESS, GLASGOW. PREFACIO LA TEORÍA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES, decía Sophus Lie, es la rama más importante de las matemáticas modernas. Se puede considerar que el tema ocupa una posición central desde la que se extienden diferentes líneas de desarrollo en muchas direcciones. Si recorremos el camino puramente analítico, pronto nos vemos abocados a discutir las Series Infinitas, los Teoremas de Existencia y la Teoría de las Funciones. Otro nos lleva a la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Entre ambos se encuentra el camino descubierto por Lie, que conduce a los grupos continuos de transformación y a su interpretación geométrica. Si nos desviamos en otra dirección, llegamos al estudio de las vibraciones mecánicas y eléctricas de todo tipo y al importante fenómeno de la resonancia. Ciertas ecuaciones diferenciales parciales constituyen el punto de partida para el estudio de la conducción del calor, la transmisión de ondas eléctricas y muchas otras ramas de la física.

La Química Física, con su ley de masa-acción, se ocupa en gran medida de ciertas ecuaciones diferenciales. El objetivo de este libro es dar cuenta de las partes centrales del tema de la forma más sencilla posible, adecuada para aquellos que no tienen conocimientos previos, y al mismo tiempo señalar las diferentes direcciones en las que se puede desarrollar. La mayor parte del texto y los ejemplos que lo componen resultarán muy sencillos. El único conocimiento previo que se supone es el de los elementos del cálculo diferencial e integral y un poco de geometría de coordenadas. Los ejemplos misceláneos al final de los distintos capítulos son un poco más difíciles. Contienen varios teoremas de menor importancia, con pistas que deberían ser suficientes para permitir al estudiante resolverlos. También contienen aplicaciones geométricas y físicas, pero se ha tenido mucho cuidado en plantear las preguntas de tal manera que no se requieran conocimientos de física. Por ejemplo, en una pregunta se pide la solución de una ecuación diferencial parcial en términos de ciertas constantes y variables. Esta pregunta puede considerarse como una cuestión de matemáticas puras, pero va seguida inmediatamente de una nota en la que se indica que el trabajo se refiere a un experimento bien conocido sobre el calor y se da el significado físico de las constantes y variables en cuestión.

Por último, al final del libro se ofrece un conjunto de 115 ejemplos de dificultad mucho mayor, la mayoría tomados de exámenes universitarios. Debo agradecer a las Universidades de Londres, Sheffield y Gales, así como al Sindicato de la Cambridge University Press, su amabilidad al permitirme utilizarlos. El libro cubre el curso de ecuaciones diferenciales requerido para el London B. Sc. Honours o Schedule A del Cambridge Mathematical Tripos, Parte II, y también incluye parte del trabajo requerido para el London M. Sc. o Schedule B del Mathematical Tripos. Un apéndice ofrece sugerencias para lecturas adicionales. El número de ejemplos, tanto trabajados como no trabajados, es muy grande, y las respuestas a los no trabajados se dan al final del libro. Cabe mencionar algunos puntos especiales. El método gráfico del Capítulo I, basado en el MS. que amablemente me prestó el Dr. Brodetsky de un trabajo que leyó ante la Asociación Matemática, y en un trabajo algo similar del Prof. Takeo Wada, no ha aparecido antes en ningún libro de texto. El capítulo dedicado a la integración numérica trata el tema con bastante más detalle de lo habitual...