Teoría de matrices y desigualdades matriciales

Título original:

A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities

Contenido del libro:

Escrito para estudiantes universitarios avanzados, este libro de gran prestigio presenta una enorme cantidad de información en un formato conciso y accesible. Partiendo del supuesto de que el lector nunca ha visto una matriz antes, los autores pasan a ofrecer un estudio de una parte sustancial del campo, incluyendo muchas áreas de interés de la investigación moderna.

La primera parte del libro abarca no sólo las ideas estándar de la teoría de matrices, sino algunas que, como afirman los autores, "reflejan nuestros propios prejuicios", entre ellas los productos de Kronecker, las matrices compuestas e inducidas, las relaciones cuadráticas, las permanentes, las matrices de incidencia y las generalizaciones de la conmutatividad.

La segunda parte comienza con un estudio de las propiedades elementales de los conjuntos convexos y los poliedros, y presenta una demostración del teorema de Birkhoff sobre matrices doblemente estocásticas. A continuación se discuten las propiedades de las funciones convexas y se enumeran las desigualdades clásicas. Este material se combina para obtener muchas de las desigualdades matriciales interesantes de Weyl, Fan, Kantorovich y otros. El tratamiento sigue las líneas desarrolladas por estos autores y sus sucesores, y se incluyen muchas de sus pruebas. Este capítulo contiene una descripción de la teoría clásica de Perron Frobenius-Wielandt de matrices no negativas indescomponibles y termina con algunos resultados importantes sobre matrices estocásticas.

La tercera parte se ocupa de una variedad de resultados sobre la localización de las raíces características de una matriz en términos de funciones simples de sus entradas o de las entradas de una matriz relacionada. La presentación sigue esencialmente un orden histórico, y del gran número de resultados en este campo los autores han seleccionado los que les han parecido más interesantes o útiles. Los lectores encontrarán muchas de las pruebas de los teoremas clásicos y un número considerable de pruebas de resultados en la literatura de investigación contemporánea.