Teoría cuantizada de números, cuerdas fractales y la hipótesis de Riemann: De los operadores espectrales a las transiciones de fase y la universalidad

Título original:

Quantized Number Theory, Fractal Strings and the Riemann Hypothesis: From Spectral Operators to Phase Transitions and Universality

Contenido del libro:

El estudio de la relación entre la geometría, la aritmética y los espectros de los fractales ha sido un tema de gran interés en las matemáticas contemporáneas. Este libro contribuye a la literatura sobre el tema de varias maneras diferentes y nuevas. En particular, los autores proporcionan un estudio riguroso y detallado del operador espectral, un mapa que envía la geometría de las cadenas fractales a su espectro. Para ello, utilizan y desarrollan métodos de la geometría fractal, el análisis funcional, el análisis complejo, la teoría de operadores, las ecuaciones diferenciales parciales, la teoría analítica de números y la física matemática. Originalmente, M L Lapidus y M van Frankenhuijsen introdujeron "heurísticamente" el operador espectral en su desarrollo de la teoría de las cuerdas fractales y sus dimensiones complejas, concretamente en su reinterpretación del trabajo anterior de M L Lapidus y H Maier sobre problemas espectrales inversos para cuerdas fractales y la hipótesis de Riemann. Uno de los temas principales del libro es proporcionar un marco riguroso en el que se pueda responder a la pregunta "¿Se puede oír la forma de una cuerda fractal? o, lo que es lo mismo, "¿Se puede obtener información sobre la geometría de una cuerda fractal, dado su espectro? puede reformularse en términos de la invertibilidad o cuasi invertibilidad del operador espectral.

El desplazamiento infinitesimal de la recta real se define primero con precisión como un operador de diferenciación en una familia de espacios de Hilbert convenientemente ponderados de funciones en la recta real e indexados por un parámetro dimensional c. A continuación, el operador espectral se define mediante el cálculo funcional como una función del desplazamiento infinitesimal. De este modo, se considera un análogo "cuántico" natural de la función zeta de Riemann. Más concretamente, dentro de este marco, el operador espectral se define como el mapa compuesto de la función zeta de Riemann con el desplazamiento infinitesimal, visto como un operador normal no acotado que actúa sobre el espacio de Hilbert anterior. Se demuestra que la cuasi-invertibilidad del operador espectral está íntimamente relacionada con la existencia de ceros críticos de la función zeta de Riemann, lo que conduce a una nueva reformulación espectral y teórica de la hipótesis de Riemann. En consecuencia, el operador espectral es cuasi-invertible para todos los valores del parámetro dimensional c en el intervalo crítico (0,1) (salvo en el caso mediofractal cuando c =1/2) si y sólo si la hipótesis de Riemann (HR) es cierta. También se discute con cierto detalle una reformulación relacionada, pero aparentemente muy diferente, de la HR, debida al segundo autor y denominada "criterio asimétrico para la HR": a saber, el operador espectral es invertible para todos los valores de c en el intervalo crítico izquierdo (0,1/2) si y sólo si la HR es cierta.

Estas reformulaciones espectrales de la HR también condujeron al descubrimiento de varias "transiciones matemáticas de fase" en este contexto, para la forma del espectro, la invertibilidad, la acotación o la no acotación del operador espectral, y que ocurren en el caso fractal medio o en el caso más fractal cuando la dimensión fractal subyacente es igual a 1/2 o 1, respectivamente. En particular, la dimensión fractal media c=1/2 desempeña el papel de parámetro crítico en la física estadística cuántica y en la teoría de las transiciones de fase y los fenómenos críticos. Además, los autores proporcionan un "análogo cuántico" del teorema clásico de Voronin sobre la universalidad de la función zeta de Riemann. Además, obtienen y estudian homólogos cuantizados de la serie de Dirichlet y del producto de Euler para la función zeta de Riemann, que se demuestra que convergen (en un sentido adecuado) incluso dentro de la franja crítica. Por razones pedagógicas, la mayor parte del libro se dedica al estudio de la función zeta de Riemann cuantizada. Sin embargo, se espera que los resultados obtenidos en esta monografía conduzcan a una cuantización de la mayoría de las funciones zeta aritméticas clásicas y, por tanto, a una 'cuantización natural' adicional de diversos aspectos de la teoría analítica de números y de la geometría aritmética.

El libro debe ser accesible tanto a expertos como a no expertos, incluidos estudiantes de postgrado e investigadores postdoctorales de matemáticas y física, interesados en geometría fractal, teoría de números, teoría de operadores y análisis funcional, ecuaciones diferenciales, análisis complejo, teoría espectral, así como en física matemática y teórica. Siempre que es necesario, se proporcionan los antecedentes adecuados sobre los diferentes temas implicados y se sitúa el nuevo trabajo en su contexto histórico apropiado. También se incluyen varios apéndices que complementan el texto principal.