Sistemas diferenciales exteriores

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Título original:

Exterior Differential Systems

Contenido del libro:

Este libro ofrece un tratamiento de los sistemas diferenciales exteriores. Incluirá tanto la teoría general como diversas aplicaciones.

Un sistema diferencial exterior es un sistema de ecuaciones sobre una variedad definido por la igualación a cero de un número de formas diferenciales exteriores. Cuando todas las formas son lineales, se denomina sistema pfaffiano. Nuestro objetivo es estudiar sus variedades integrales, es decir, las submoléculas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Un hecho fundamental es que toda ecuación implica a la obtenida por diferenciación exterior, de modo que el conjunto completo de ecuaciones asociadas a un sistema diferencial exterior constituye un ideal diferencial en el álgebra de todas las formas suaves. Así pues, la teoría está libre de coordenadas y los cálculos suelen tener un carácter algebraico.

Sin embargo, incluso cuando se utilizan coordenadas en pasos intermedios, el uso del álgebra exterior ayuda a guiar eficientemente los cálculos y, como consecuencia, el tratamiento se adapta bien a problemas geométricos y físicos. Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, con cualquier número de variables independientes y dependientes y que involucra derivadas parciales de cualquier orden, puede escribirse como un sistema diferencial exterior. En este caso nos interesan las variedades integrales en las que ciertas coordenadas permanecen independientes.

La noción correspondiente en sistemas diferenciales exteriores es la condición de independencia: ciertas formas pfaffianas permanecen linealmente independientes. Las ecuaciones diferenciales parciales y los sistemas diferenciales exteriores con una condición de independencia son esencialmente el mismo objeto.