Residuated Lattices: Una mirada algebraica a la lógica subestructural: volumen 151

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Título original:

Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: Volume 151

Contenido del libro:

El libro tiene dos objetivos. El primero y más obvio es presentar los resultados más avanzados de la investigación algebraica sobre estructuras residuadas relacionadas con las lógicas subestructurales. El segundo, menos obvio pero igualmente importante, es proporcionar una introducción razonablemente suave a la lógica algebraica. Al principio, predomina el segundo objetivo. Así, en los primeros capítulos el lector encontrará una introducción al álgebra universal para los lógicos, un curso intensivo de lógica no clásica para los algebristas, una introducción a las estructuras residuadas, un esbozo de los cálculos de Gentzen, así como algunas nociones de teoría de la demostración, entre ellas el célebre Hauptsatz o teorema de eliminación de cortes. Todo ello conduce de forma natural a una discusión de las interconexiones entre la lógica y el álgebra, donde intentamos demostrar cómo forman dos caras de la misma moneda. Pensamos que los capítulos iniciales podrían utilizarse como libro de texto para un curso de postgrado, quizá titulado Álgebra y lógica subestructural.

A medida que avanza el libro, el primer objetivo va ganando predominancia sobre el segundo. Aunque sería difícil precisar el punto exacto de equilibrio, se puede decir que entramos en la parte técnica con la discusión de varias terminaciones de estructuras residuadas. Entre ellas se incluyen las terminaciones de Dedekind-McNeille y las extensiones canónicas. Las terminaciones se utilizan posteriormente para investigar varias propiedades de finitud, como la propiedad de modelo finito, la generación de variedades por sus miembros finitos y la incrustación finita. El análisis algebraico de la eliminación de cortes que sigue también recurre a las terminaciones. La decidibilidad de lógicas y teorías ecuacionales y cuasi-ecuacionales viene a continuación, donde mostramos cómo los métodos teóricos de prueba como la eliminación de cortes son preferibles para lógicas/teorías pequeñas, pero las herramientas semánticas como el teorema de Rabin funcionan mejor para las grandes. Luego pasamos al teorema de Glivenko, que dice que una fórmula es una tautología intuicionista si y sólo si su doble negación es clásica. Lo generalizamos al ámbito subestructural, identificando para cada lógica subestructural su clase de equivalencia de Glivenko con el elemento más pequeño y el más grande. Aquí es también donde empezamos a investigar entramados de lógicas y variedades, en lugar de ejemplos particulares. Continuamos en esta línea presentando una serie de resultados relativos a variedades mínimas/lógicas máximas.

Un teorema típico dice que, para una variedad conocida dada, su retículo de subvariedades tiene precisamente tal o cual número de miembros mínimos (donde los valores de tal o cual incluyen, entre otros, continuo, contablemente muchos y dos). En los dos últimos capítulos nos centramos en la red de variedades correspondientes a lógicas sin contracción. En uno demostramos un resultado negativo: que no hay escisiones no triviales en esa variedad. En el otro, probamos uno positivo: que las variedades semisimples coinciden con las discriminantes.

En la segunda parte del libro, más técnica, puede trazarse otro proceso de transición. A saber, empezamos con tecnicismos de inclinación lógica y terminamos con otros de inclinación algebraica. Aquí, quizás, la interpretación algebraica de los teoremas de Glivenko marca el punto de equilibrio, al menos en el sentido de que las propiedades de finitud, la decidibilidad y los teoremas de Glivenko son de claro interés para los lógicos, mientras que la semisimplicidad y las variedades discriminantes son álgebra universal por excelencia. Corresponde al lector juzgar si hemos conseguido entretejer estos hilos en un tejido sin costuras.