Polyfold y la teoría de Fredholm

Título original:

Polyfold and Fredholm Theory

Contenido del libro:

Este libro es pionero en una teoría de Fredholm no lineal en una clase general de espacios llamados poliplegales. La teoría generaliza ciertos aspectos del análisis no lineal y la geometría diferencial, y los combina con una pizca de teoría de categorías para incorporar simetrías locales. En cuanto a la geometría diferencial, el libro introduce una amplia clase de espacios y haces "suaves" que pueden tener dimensiones localmente variables (finitas o infinitas). Estos haces vienen acompañados de una importante clase de secciones, que muestran propiedades que recuerdan a la teoría no lineal clásica de Fredholm y permiten teoremas de funciones implícitas. Dentro de este marco de análisis no lineal, se desarrolla una teoría versátil de la transversalidad y la perturbación para abarcar también entornos equivariantes.

La teoría presentada en este libro fue iniciada por los autores entre 2007-2010, motivados por problemas de módulos no lineales en geometría simpléctica. Tales problemas suelen describirse localmente como sistemas elípticos no lineales, y deben estudiarse hasta una noción de isomorfismo. Esto introduce simetrías, ya que un sistema de este tipo puede ser isomorfo a sí mismo de diferentes maneras. Los fenómenos de burbujeo son comunes y tienen que ser completamente comprendidos para producir invariantes algebraicos. Esto requiere una teoría de la transversalidad para los fenómenos de burbujeo en presencia de simetrías. Muy a menudo, incluso en aplicaciones concretas, las perturbaciones geométricas no son suficientemente generales para lograr la transversalidad, y hay que considerar perturbaciones abstractas. La teoría ya se está aplicando con éxito a sus aplicaciones previstas en geometría simpléctica, y debería encontrar aplicaciones en muchas otras áreas en las que confluyen las ecuaciones diferenciales parciales, la geometría y el análisis funcional.

Escrito por sus autores, Polyfold and Fredholm Theory es un tratado autorizado y exhaustivo de la teoría de los poliedros. Resultará muy valioso para los investigadores que estudian problemas elípticos no lineales que surgen en contextos geométricos.