Números

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Título original:

Numbers

Contenido del libro:

La mayoría de la gente suele dar por sentados los distintos sistemas numéricos, y con razón. Pero al menos una vez en la carrera de toda persona seriamente interesada en las matemáticas, deberían examinarse con ojo crítico. ¿Por qué se crearon y por qué sus propiedades son las que son? Numbers pretende ser un libro ameno pero riguroso que aborde estos puntos. El libro de Edmund Landau de 1930 Grundlagen der Analysis (Fundamentos del análisis) sigue imprimiéndose, lo que demuestra que sigue existiendo el deseo de un libro así, pero es extraordinariamente conciso, y es famoso por ello. Es una larga retahíla de definiciones y teoremas sin nada de material informal. Hemos intentado encontrar una buena mezcla de informalidad y desarrollo formal. Dedicamos mucho tiempo a la motivación, dando razones informales de por qué un desarrollo formal puede proceder como lo hace. Después, y sólo después, presentamos el material formal. De este modo, el lector aprende no sólo el mecanismo de los sistemas numéricos, sino también cómo se crean las matemáticas formales y cómo se piensa sobre ellas en un nivel preformal.

El papel de la teoría de conjuntos y su relación con los sistemas numéricos es importante, pero en un libro centrado en los números es más bien una distracción. Algo de teoría de conjuntos es necesario, por supuesto, pero los principios necesarios son simples y directos. Suponemos que forman parte de la maquinaria lógica del lector y partimos de ahí. Se mencionan algunas cuestiones fundamentales, pero éste no es un libro de teoría de conjuntos.

A lo largo del libro se discuten algoritmos comunes de cálculo aritmético de lápiz y papel. Al fin y al cabo, se encuentran entre las grandes creaciones humanas y deben considerarse como tales.

El sistema de números reales se presenta a menudo mediante cortes de Dedekind o secuencias de Cauchy. Nosotros hemos elegido un enfoque cuya intuición resulta más familiar a la mayoría: los decimales infinitos. Los desarrollamos de una manera sencilla, pero rigurosa, que se basa naturalmente en lo que la gente ya ha estado expuesta.

Se incluyen ejercicios. Algunos son computacionales y otros del tipo suministrar-una-prueba. Si se realizan con éxito, el lector no sólo habrá llegado a saber algo, sino que habrá llegado a saber que lo ha llegado a saber.