Matrices aleatorias y probabilidad no conmutativa

Título original:

Random Matrices and Non-Commutative Probability

Contenido del libro:

Este es un libro introductorio sobre Probabilidad No Conmutativa o Probabilidad Libre y Matrices Aleatorias de Gran Dimensión. Se introducen los conceptos básicos de la probabilidad libre por analogía con la probabilidad clásica de forma lúcida y rápida. A continuación se desarrollan los resultados sobre la convergencia de matrices aleatorias de gran dimensión, con especial atención a las interesantes conexiones con la probabilidad libre. El libro no asume casi ningún prerrequisito en su mayor parte. Sin embargo, será útil la familiaridad con los conceptos básicos de convergencia en probabilidad y un poco de madurez matemática.

⬤ Las propiedades combinatorias de las particiones no cruzadas, incluida la función de Mbius, desempeñan un papel fundamental en la introducción a la probabilidad libre.

⬤ La independencia libre se define a través de los cumulantes libres por analogía con la forma en que la independencia clásica puede definirse a través de los cumulantes clásicos.

⬤ Los cumulantes libres se introducen a través de la función de Mbius.

⬤ Se construyen espacios de probabilidad de productos libres utilizando cumulantes libres.

⬤ Se discute la convergencia tracial marginal y conjunta de matrices aleatorias de gran dimensión como la de Wigner, elíptica, covarianza muestral, covarianza cruzada, Toeplitz, Circulante y Hankel.

⬤ Se discute la convergencia de la distribución espectral empírica para matrices simétricas.

⬤ Se discuten en detalle los resultados asintóticos de libertad para matrices aleatorias, incluyendo algunos recientes. Se aclara la estructura de los límites de convergencia conjunta de matrices aleatorias.

⬤ También se demuestra la libertad asintótica de las matrices de covarianza de muestras independientes mediante su incrustación en matrices de Wigner.

⬤ En cada capítulo se incluyen ejercicios de nivel avanzado de licenciatura y posgrado.