Mapas planares, paseos aleatorios y empaquetamiento circular

Título original:

Planar Maps, Random Walks and Circle Packing

Contenido del libro:

Este libro de acceso abierto se centra en la interacción entre los paseos aleatorios en mapas planares y el teorema de empaquetamiento circular de Koebe. Otros temas tratados son las redes eléctricas, el teorema de He-Schramm sobre empaquetamientos circulares infinitos, los árboles de extensión uniforme de mapas planares, los límites locales de mapas planares finitos y la recurrencia casi segura de paseos aleatorios simples en estos límites.

Uno de sus principales objetivos es presentar una prueba autocontenida de que la triangulación planar infinita uniforme (UIPT) es casi seguramente recurrente. Se proporcionan pruebas completas de todas las afirmaciones. Un mapa planar es un grafo que puede dibujarse en el plano sin cruzar aristas, junto con una especificación del orden cíclico de las aristas incidentes en cada vértice.

Un método ampliamente aplicable para dibujar grafos planares viene dado por el teorema de empaquetamiento de círculos de Koebe (1936). Varias propiedades geométricas de estos dibujos, como la existencia de puntos de acumulación y límites en los radios, codifican información probabilística importante, como la recurrencia/transitoriedad de los paseos aleatorios simples y la conectividad del bosque uniforme de extensión.

Esta profunda conexión es especialmente fructífera para el estudio de los mapas planares aleatorios. El libro está dirigido a investigadores y estudiantes de posgrado en matemáticas y es adecuado para un curso de un solo semestre; sólo se presuponen conocimientos básicos de teoría de la probabilidad a nivel de posgrado.

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