La lógica del número

Título original:

The Logic of Number

Contenido del libro:

En The Logic of Number, Neil Tennant define y desarrolla su explicación naturalista de los fundamentos de los números naturales, racionales y reales. Basado en el sistema lógico libre Core Logic, el método central consiste en formular reglas de deducción natural que rigen los operadores de abstracción numérica de enlace variable y otras expresiones lógico-matemáticas como el cero y el sucesor. Estas reglas permiten la abstracción "simple", a diferencia de la abstracción "doble" que efectúan principios como la Ley Básica V de Frege o el Principio de Hume.

El Logicismo Natural impone a su relato de los números cuatro condiciones de adecuación: en primer lugar, hay que mostrar cómo es que los diversos tipos de número son aplicables en nuestro pensamiento y discurso más amplios sobre el mundo. Esto se consigue derivando todas las instancias de tres esquemas respectivos: El esquema N para los naturales, el esquema Q para los racionales y el esquema R para los reales. Éstos proporcionan condiciones de verdad para las afirmaciones que emplean términos referidos a números del tipo en cuestión. En segundo lugar, hay que mostrar cómo es que los naturales se sitúan entre los racionales como ellos mismos de nuevo, y los racionales igualmente entre los reales. En tercer lugar, se debe revelar lo suficiente de la naturaleza metafísica de los números como para poder derivar las leyes básicas de los matemáticos que los rigen. En cuarto lugar, se debería poder demostrar que hay un número incontable de reales.

El Logicismo Natural es realista acerca de los límites del logicismo cuando se trata de tratar los números reales, para lo cual, argumenta Tennant, uno necesita recurrir a la intuición geométrica para puntos de partida más profundos, más allá de los cuales la lógica por sí sola proporcionará los resultados buscados, con absoluto rigor formal. El programa resultante permite delimitar, de una manera basada en principios, aquellas partes de la teoría de números que son producidas únicamente por el entendimiento kantiano, y aquellas partes que dependen del recurso a intuiciones geométricas (muy simples) a priori.