Introducción a los procesos estocásticos

Título original:

Introduction to Stochastic Processes

Contenido del libro:

El objetivo de este libro es introducir los elementos de los procesos estocásticos de una manera bastante concisa en la que se presentan las dos partes más importantes: las cadenas de Markov y el análisis estocástico. Los lectores son conducidos directamente al núcleo de los temas principales que se tratarán en el contexto.

Los detalles y materiales adicionales se dejan para una sección que contiene abundantes ejercicios para profundizar en la lectura y el estudio. En la parte dedicada a las cadenas de Markov, la atención se centra en la ergodicidad. Utilizando el método de la solución mínima no negativa, tratamos la recurrencia y varios tipos de ergodicidad.

Esto se hace paso a paso, de espacios de estados finitos a espacios de estados denumerables, y de tiempo discreto a tiempo continuo.

Los métodos de demostración adoptan técnicas modernas, como los métodos de acoplamiento y dualidad. Se incluyen algunos resultados muy novedosos, como la estimación de la brecha espectral.

La estructura y las pruebas de la primera parte son bastante diferentes de las de otros libros de texto sobre cadenas de Markov. En la parte sobre análisis estocástico, cubrimos la teoría martingala y los movimientos brownianos, la integral estocástica y las ecuaciones diferenciales estocásticas con énfasis en una dimensión, y la integral estocástica multidimensional y la ecuación estocástica basada en semimartingales. Introducimos aquí tres temas importantes: la fórmula de Feynman-Kac, la transformada aleatoria del tiempo y la transformada de Girsanov.

Como aplicación esencial de la teoría de la probabilidad en las matemáticas clásicas, se trata también la famosa desigualdad de Brunn-Minkowski en geometría convexa. Este libro también presenta la teoría moderna de la probabilidad que se utiliza en diferentes campos, como MCMC, o incluso en áreas deterministas: geometría convexa y teoría de números. Proporciona una rutina nueva y directa para los estudiantes que pasan de las clásicas cadenas de Markov al moderno análisis estocástico.