Introducción a la Geometría y la Topología

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Título original:

Introduction to Geometry and Topology

Contenido del libro:

Este libro ofrece una introducción a la topología, la topología diferencial y la geometría diferencial. Se basa en manuscritos refinados a través de su uso en una variedad de cursos de conferencias. El primer capítulo abarca resultados y conceptos elementales de la topología de conjuntos de puntos. Una excepción es el teorema de la curva de Jordan, que se demuestra para trayectorias poligonales y pretende dar a los estudiantes una primera visión de la naturaleza de los problemas topológicos más profundos.

El segundo capítulo del libro introduce los múltiples y los grupos de Lie, y examina una amplia variedad de ejemplos. También se analizan los haces tangentes, los haces vectoriales, las diferenciales, los campos vectoriales y los soportes de Lie de los campos vectoriales. Esta discusión se profundiza y amplía en el tercer capítulo, que introduce la cohomología de De Rham y la integral orientada, y ofrece pruebas del teorema del punto fijo de Brouwer, el teorema de separación de Jordan-Brouwer y la fórmula integral de Stokes.

El cuarto y último capítulo está dedicado a los fundamentos de la geometría diferencial y traza el desarrollo de las ideas desde las curvas hasta los submanifolds de los espacios euclidianos. A lo largo del libro se analizan las conexiones y la curvatura, los conceptos centrales de la geometría diferencial. La discusión culmina con las ecuaciones de Gau y la versión del teorema egregio de Gau para submanifolds de dimensión y codimensión arbitrarias.

Este libro está dirigido principalmente a estudiantes universitarios avanzados de matemáticas y física, y está pensado como plantilla para un curso de licenciatura de uno o dos semestres.