Incompletitud en el país de los conjuntos

Opiniones de los lectores

El libro sobre el Teorema de Goedel es elogiado por su excelente tratamiento del tema y sus conexiones con la paradoja de Russell. Sin embargo, algunos lectores lo encuentran falto de detalle y profundidad, sugiriendo que requiere un texto complementario para su plena comprensión.

Excelente tratamiento del Teorema de Goedel, presentación intrigante, fuertes conexiones con conceptos clásicos, ameno para los interesados en lógica y matemáticas.

Demasiados alardes, carece de explicaciones detalladas, el uso informal de nociones semánticas puede dificultar la comprensión, puede requerir material complementario.

(basado en 3 opiniones de lectores)

Título original:

Incompleteness in the Land of Sets

Contenido del libro:

La paradoja de Russell surge cuando consideramos aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. La colección de tales conjuntos no puede constituir un conjunto.

Retrocedamos un poco. Las fórmulas lógicas definen conjuntos (en un modelo estándar). Las fórmulas, al ser objetos matemáticos, pueden considerarse como conjuntos: las matemáticas se reducen a la teoría de conjuntos.

Consideremos las fórmulas que no pertenecen al conjunto que definen.

El conjunto de tales fórmulas no es definible por una fórmula, por el mismo argumento que utilizó Russell. Así se obtiene rápidamente el resultado de Tarski sobre la indefinibilidad de la verdad.

Variaciones sobre la misma idea dan los famosos resultados de Godel, Church, Rosser y Post. Este libro ofrece una presentación completa de los teoremas básicos de incompletitud e indecibilidad de la lógica matemática en el marco de la teoría de conjuntos. Los resultados correspondientes para la aritmética se deducen fácilmente y también se presentan.

En general, se evita la numeración de Godel, excepto cuando se establece una conexión explícita entre la teoría de conjuntos y la aritmética. El libro supone que el lector tiene poca formación técnica. Se necesita habilidad matemática, familiaridad general con la lógica formal y comprensión del teorema de completitud, aunque no de su demostración.

Todo lo demás está desarrollado y demostrado formalmente, desde el Teorema de Tarski hasta el Segundo Teorema de Incompletitud de Godel. Los ejercicios están repartidos por todo el libro.