Guía básica de problemas de unicidad para ecuaciones diferenciales evolutivas

Título original:

A Basic Guide to Uniqueness Problems for Evolutionary Differential Equations

Contenido del libro:

Este libro aborda la cuestión de la unicidad de la solución de un problema, un tema muy importante en ciencia y tecnología, particularmente en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales, donde la unicidad garantiza que ciertas ecuaciones diferenciales parciales son suficientes para modelizar un fenómeno dado.

Este libro pretende ser una breve introducción a las cuestiones de unicidad de los problemas de valor inicial. A menudo se debilita la noción de solución para incluir soluciones no diferenciables. Este tipo de solución se denomina solución débil. Es más fácil encontrar una solución débil, pero es más difícil establecer su unicidad. Este libro examina tres ecuaciones muy fundamentales: las ecuaciones diferenciales ordinarias, las leyes de conservación escalares y las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Partiendo de la desigualdad estándar de Gronwall, este libro analiza ecuaciones diferenciales ordinarias menos regulares. Incluye una introducción de temas avanzados como la teoría de operadores monótonos máximos, así como lo que se denomina teoría de DiPerna-Lions, que sigue siendo un área de investigación activa. Para las leyes de conservación, se explica la unicidad de la solución de entropía, una solución débil especial (discontinua). Para las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, se establecen varios resultados de unicidad para una solución de viscosidad, un tipo de solución débil no diferenciable. También se discute la unicidad de la solución de viscosidad discontinua. Se ofrece una demostración detallada de cada enunciado de unicidad.

Se espera que el lector aprenda varias ideas y técnicas fundamentales en análisis matemático para ecuaciones diferenciales parciales estableciendo la unicidad. No es necesario ningún prerrequisito aparte del cálculo simple y el álgebra lineal. Para comodidad del lector, al final de este libro se incluye una lista de terminología básica.