Geometría algebraica y curvas aritméticas

Opiniones de los lectores

En general, el libro ha sido bien recibido como texto complementario del libro de Hartshorne sobre geometría algebraica, especialmente elogiado por su claridad en la teoría de esquemas y su enfoque en las aplicaciones aritméticas. Sin embargo, se ha señalado que algunas pruebas podrían ser más claras y que ciertos temas importantes no están suficientemente cubiertos.

⬤ Excelente compañero del libro de Hartshorne
⬤ explicaciones claras y perspicaces
⬤ muchos ejemplos concretos y contraejemplos
⬤ adaptado para mentes aritméticas
⬤ proporciona una buena base en teoría de esquemas
⬤ más legible que el libro de Hartshorne
⬤ contenido sustancial en comparación con el libro de Shafarevich.

⬤ Algunas pruebas no son claras y se presentan de manera ad hoc
⬤ ciertos temas importantes no están suficientemente cubiertos
⬤ no hace referencia a lenguajes más antiguos
⬤ partes posteriores se basan en resultados citados de álgebra conmutativa
⬤ algunos usuarios sugieren acompañarlo con Hartshorne u otros documentos para una comprensión completa.

(basado en 6 opiniones de lectores)

Título original:

Algebraic Geometry and Arithmetic Curves

Contenido del libro:

Esta nueva edición en rústica proporciona una introducción general a la geometría algebraica y aritmética, empezando por la teoría de esquemas, seguida de aplicaciones a superficies aritméticas y a la teoría de reducción de curvas algebraicas.

La primera parte introduce objetos básicos como esquemas, morfismos, cambio de base, propiedades locales (normalidad, regularidad, Teorema Principal de Zariski). A continuación se aborda el aspecto más global: las series coherentes y un teorema de finitud para sus grupos de cohomología. Luego sigue un capítulo sobre las gavillas de diferenciales, las gavillas dualizantes y la teoría de la dualidad de Grothendieck. La primera parte termina con el teorema de Riemann-Roch y su aplicación al estudio de curvas proyectivas suaves sobre un campo. Las curvas singulares se tratan mediante un estudio detallado del grupo de Picard.

La segunda parte comienza con las expansiones y desingularizaciones (incrustadas o no) de superficies fibrosas sobre un anillo Dedekind, lo que conduce a la teoría de intersecciones sobre superficies aritméticas. Se demuestra el criterio de Castelnuovo y también la existencia del modelo regular mínimo. Esto conduce al estudio de la reducción de curvas algebraicas. Se estudia en detalle el caso de las curvas elípticas. El libro concluye con el teorema fundamental de la reducción estable de Deligne-Mumford.

Este libro es esencialmente autocontenido e incluye el material necesario sobre álgebra conmutativa. Los prerrequisitos son pocos, e incluyendo muchos ejemplos y aproximadamente 600 ejercicios, el libro es ideal para estudiantes de posgrado.