Geometría algebraica I: Esquemas: Con ejemplos y ejercicios

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Título original:

Algebraic Geometry I: Schemes: With Examples and Exercises

Contenido del libro:

La geometría algebraica tiene su origen en el estudio de sistemas de ecuaciones polinómicas f (x,..., x )=0, 1 1 n... f (x,..., x )=0.

r 1 n Aquí los f? k(X,..., X ) son polinomios en n variables con coeficientes en a? eld k. i 1 n n El conjunto de soluciones es un subconjunto V(f,..., f)dek. Las ecuaciones polinómicas están muy presentes en las matemáticas y se han estudiado desde la antigüedad.

La geometría algebraica se centra en el estudio de la estructura geométrica de sus conjuntos solución. n Si los polinomios f son lineales, entonces V(f,..., f ) es un subespacio vectorial de k.

Su i 1 r «tamaño» se mide por su dimensión y puede describirse como el núcleo del n r mapa lineal k? k, x=(x,..., x )? (f (x),..., f (x)). 1 n 1 r Para polinomios arbitrarios, V(f,..., f ) no es en general un espacio subvectorial. Para estudiarlo, se utiliza la estrecha conexión entre geometría y álgebra, que es una propiedad clave de la geometría algebraica, y cuya primera manifestación es la siguiente: Si g = g f +...

g f 1 1 r r es una combinación lineal de las f (con coeficientes g? k(T,..., T )), entonces tenemos i i 1 n V(f,..., f)= V(g, f,..., f ). Por tanto, el conjunto de soluciones sólo depende del ideal 1 r 1 r a? k(T,..., T ) generado por la f.