El álgebra de la lógica intensional

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Título original:

The Algebra of Intensional Logics

Contenido del libro:

J. La tesis doctoral de Michael Dunn ocupa un lugar único en el desarrollo del enfoque algebraico de la lógica. En The Algebra of Intensional Logics, Dunn introdujo los monoides de De Morgan, una clase de álgebras en las que el álgebra de R (la lógica de la implicación relevante) es libre. Se trata de un ejemplo en el que el álgebra de una lógica no es ni un álgebra booleana con operaciones adicionales, ni una red distributiva residuada. Los monoides de Morgan sirvieron de ejemplo paradigmático para la algebrización de otras lógicas de relevancia, entre ellas E, la lógica de la implicación y R-Mingle (RM), la extensión de R con el axioma mingle.

Los monoides de Morgan extienden los entramados de De Morgan, que algebraizan la lógica de las relaciones de primer grado que es un fragmento común de R y E. Dunn estudió el papel del álgebra de De Morgan de cuatro elementos D en la representación de los entramados de De Morgan, y a partir de ahí dedujo un teorema de completitud para las relaciones de primer grado. También demostró que todo entramado de De Morgan puede incrustarse en un producto 2 de álgebras booleanas, y demostró resultados relacionados sobre entramados de De Morgan en los que la negación no tiene punto fijo. Dunn también desarrolló una interpretación informal de las vinculaciones de primer grado utilizando la noción de aboutness, motivada por la representación de los entramados de De Morgan mediante conjuntos.

Dunn hizo contribuciones preeminentes a varias áreas de la lógica de relevancia en su carrera de más de medio siglo. En la teoría de la prueba, desarrolló cálculos secuenciales para la lógica de relevancia positiva y un sistema de tablas para las vinculaciones de primer grado; en semántica, desarrolló una semántica relacional binaria para la lógica RM. El uso de álgebras siguió siendo un tema central en la obra de Dunn, desde la prueba de la admisibilidad de la regla llamada γ hasta su teoría de las lógicas de Galois generalizadas (o "gaggles"), en las que se consideran los residuos de operaciones arbitrarias. La representación de los gaggles -utilizando estructuras relacionales- proporcionó un nuevo marco para la semántica relacional de la relevancia y para las llamadas lógicas subestructurales, y condujo a una interpretación de las mismas basada en la información.