Curso de Cálculo de Variaciones: Optimización, Regularidad y Modelización

Título original:

A Course in the Calculus of Variations: Optimization, Regularity, and Modeling

Contenido del libro:

Este libro proporciona una introducción al amplio tema del cálculo de variaciones. Aborda las cuestiones más naturales de los problemas variacionales y las complejidades matemáticas que presentan.

Comenzando con la modelización científica que motiva el tema, el libro aborda a continuación cuestiones matemáticas como la existencia y unicidad de soluciones, su caracterización en términos de ecuaciones diferenciales parciales y su regularidad. Incluye tanto resultados clásicos como recientes sobre problemas variacionales unidimensionales, así como la adaptación al caso multidimensional. Aquí, la convexidad desempeña un papel importante en el establecimiento de resultados de semicontinuidad y conexiones con técnicas de optimización, y la dualidad convexa se utiliza incluso para producir resultados de regularidad. A continuación se aborda la teoría más clásica de la regularidad de Hölder para EDP elípticas y algunos problemas variacionales geométricos sobre conjuntos, como la desigualdad isoperimétrica y el problema del árbol de Steiner. El libro concluye con un capítulo sobre los límites de secuencias de problemas variacionales, expresados en términos de Γ-convergencia.

Este libro de texto, basado en la experiencia docente de su autor, también ofrece ideas originales que pueden ser de interés para estudiantes de doctorado e investigadores. Se requiere una comprensión básica de la teoría de la medida y del análisis funcional, pero todos los conceptos esenciales se reiteran a lo largo del libro mediante recuadros especiales.